【随笔】什么是函数?

在数学中,函数通常用式子 y=f(x) 来表示。f 是英语单词 function中的f , 是“功能”或者“作用”的意思。 说白了就是使用f给x施加某种规则或关系,进而推导出y。

函数可以用来表示“因果”,表示“变化”规则。

比如把 x 当作母鸡,f(x)可能出来的就是小鸡鸡了。当然了,不同的f会有不同的结果,说不定结果是个鸡蛋呢。

我们生活中到处都有函数,声速和气温的关系,山高和气温的关系,奖金和营业额的关系,各种计数单位的转换规则等等。

计算机采用二进制法(0,1)处理后的信息,x比特所表示的信息量为y,则 y = b(x) = 2x , 画成图形的话,就是指数函数。

 

 

 

 

 

 

 

 

在画图时,也存在即不能用直线也不能用特定形状的曲线来表示的函数。比了股票走势图。

 

函数组合在一起之后称为“复合函数”。 我们能够通过复合函数将因果关系扩展到更广阔的范围。

x  –> [ f ] –> f(x) –> [ g ] — g(f(x))

g(f(x)) 即 f 和 g 的复合函数。

 

生活中也会用得到的函数

某饮料生产大户S公司,其董事为了提高该公司畅销商品的利润,是要增加还是减少广告播出时间呢?  该公司每个月电视广告播放时间设为 x 小时, x 小时的广告所带来的商品销售额的利润可以表示为 f(x) = 20√x 元。 现在,S公司一个月累计播放广告4小时。

由此可知, f(4) = 20√4 = 40 亿元, 即每月4小时广告带来了40亿元的利润。 这里,依照广告播放合约, 每分钟1000万元

上面这个问题,看起来不能通过简单的计算得到答案了吧?

假设以当前的广告播放时间、利润作为一个点y, 广告时间为x,  那么要增加销售额利润,到底是要增加x , 还是减少 x呢?

y = f(x)

f(4) = 40亿元 ,

假设 e 是我们需要增减时间,利润的变化为 g(x), 则下式成立

 

(f( 4 + e) – f(4)) / e = g(4)

当e= 0时,实际上就是 (f(4+0) – f(4) / 0 = g(4) = 0;

也就是说,时间不变时,利润的变化为0。

(f( 4 + e) – f(4)) / e 可以通过下面的变化转为近似函数g(x):

=(20√4+e – 20√4) / e

=(20√4+e – 20 * 2) / e

=20* ( ((( (√4+e)-2) * ( (√4+e)+2) ) / e * (( (√4+e)+2 ) )

=20 / ((√4+e) + 2)

当e = 0时,分母 ((√4+e) + 2) = 4, 于是有 20 / 4 = 5。

所以,近似一次函数  g(x) = 5(x-4)+40 = 5x + 20

我们要增加利润, 需要改变x的值, 改变多少? 如果x变化得太大, 比如像1小时,那么 f(x) 和g(x)就会相差甚远, 这样的近似就没有意义了。实际上,即便是广告的播放时间要有所增减,那也是少许的一点点时间而已。

比方说,考虑增减6分钟(0.1小时),这种变化程度比较小的情况下,误差率也会比较小,那么这个近拟才会有效。

g(x) 中x的系数为5, 表示播放时长每增加1小时,就会带来5亿元的收入,所以仅增加6分钟的话,就会带来0.5亿来的收入。同时,广告时间6分钟需要6 * 0.1 = 0.6亿元广告费。

反过来说,少播放6分钟广告,就损失约0.5亿元利润, 但可以少支付0.6亿元广告费。这么说来…

答案就是。。。

做出了减少广告播放时间的决定!

 

实际上,上面例子中的东西已经是微积分中的玩意了,有点复杂。。。

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